Resolver {l}{2x+3y=7}{6x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 6 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} = 1.4375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+7}{2} na outra ecuación, 6x+y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=10$$

Multiplica 6 por \frac{-3y+7}{2}.

$$-9y+21+y=10$$

Suma -9y a y.

$$-8y+21=10$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-11$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=\frac{11}{8}$$

Substitúe y por \frac{11}{8} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{11}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{33}{16}+\frac{7}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a -\frac{33}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{23}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 7+\frac{3}{16}\times 10\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

Para que 2x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 7,2\times 6x+2y=2\times 10$$

Simplifica.

$$12x+18y=42,12x+2y=20$$

Resta 12x+2y=20 de 12x+18y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+18y-2y=42-20$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y-2y=42-20$$

Suma 18y a -2y.

$$16y=42-20$$

Suma 42 a -20.

$$16y=22$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=\frac{11}{8}$$

Substitúe y por \frac{11}{8} en 6x+y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+\frac{11}{8}=10$$

Resta \frac{11}{8} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{69}{8}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{23}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$