Resolver {l}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+7}{2} na outra ecuación, 5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

Multiplica 5 por \frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

Suma -\frac{15y}{2} a 2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Resta \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a -\frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

Simplifica.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

Resta 10x+4y=2 de 10x+15y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-4y=35-2$$

Suma 15y a -4y.

$$11y=35-2$$

Suma 35 a -2.

$$11y=33$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 5x+2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2\times 3=1$$

Multiplica 2 por 3.

$$5x+6=1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$