Resolver {l}{2x+3y=6}{4x+5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 4 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=6$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+3 na outra ecuación, 4x+5y=10.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=10$$

Multiplica 4 por -\frac{3y}{2}+3.

$$-6y+12+5y=10$$

Suma -6y a 5y.

$$-y+12=10$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{3}{2}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 2.

$$x=-3+3$$

Suma 3 a -3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 6,2\times 4x+2\times 5y=2\times 10$$

Simplifica.

$$8x+12y=24,8x+10y=20$$

Resta 8x+10y=20 de 8x+12y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+12y-10y=24-20$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-10y=24-20$$

Suma 12y a -10y.

$$2y=24-20$$

Suma 24 a -20.

$$2y=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 4x+5y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\times 2=10$$

Multiplica 5 por 2.

$$4x+10=10$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$4x=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$