Resolver {l}{2x+3y=53}{3x-y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 53 } \\ { 3 x - y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=53$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+53$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+53\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+53.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+53}{2} na outra ecuación, 3x-y=19.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}\right)-y=19$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+53}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{159}{2}-y=19$$

Suma -\frac{9y}{2} a -y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{159}{2}=19$$

Resta \frac{159}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{121}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{53}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 11+\frac{53}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 11.

$$x=\frac{-33+53}{2}$$

Suma \frac{53}{2} a -\frac{33}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 53+\frac{3}{11}\times 19\\\frac{3}{11}\times 53-\frac{2}{11}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=53,3x-y=19$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 53,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19$$

Simplifica.

$$6x+9y=159,6x-2y=38$$

Resta 6x-2y=38 de 6x+9y=159 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y+2y=159-38$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+2y=159-38$$

Suma 9y a 2y.

$$11y=159-38$$

Suma 159 a -38.

$$11y=121$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en 3x-y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-11=19$$

Suma 11 en ambos lados da ecuación.

$$3x=30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=11$$