Resolver {l}{2x+3y=5}{7x=4y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$7x-4y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=5$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+5}{2} na outra ecuación, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

Multiplica 7 por \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

Suma -\frac{21y}{2} a -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

Resta \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{29}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{39}{29}$$

Substitúe y por \frac{39}{29} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{39}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{117}{58} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{14}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$7x-4y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4y en ambos lados.

$$7x-4y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Para que 2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

Resta 14x-8y=-4 de 14x+21y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y+8y=35+4$$

Suma 21y a 8y.

$$29y=35+4$$

Suma 35 a 4.

$$29y=39$$

Divide ambos lados entre 29.

$$y=\frac{39}{29}$$

Substitúe y por \frac{39}{29} en 7x-4y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

Multiplica -4 por \frac{39}{29}.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

Suma \frac{156}{29} en ambos lados da ecuación.

$$7x=\frac{98}{29}$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{14}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$