Resolver {l}{2x+3y=5}{3x+12y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=5$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+5}{2} na outra ecuación, 3x+12y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

Suma -\frac{9y}{2} a 12y.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{15}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{25}{3}$$

Substitúe y por \frac{25}{3} en x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{25}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{25}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

Simplifica.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

Resta 6x+24y=140 de 6x+9y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-24y=15-140$$

Suma 9y a -24y.

$$-15y=15-140$$

Suma 15 a -140.

$$-15y=-125$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=\frac{25}{3}$$

Substitúe y por \frac{25}{3} en 3x+12y=70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

Multiplica 12 por \frac{25}{3}.

$$3x+100=70$$

Resta 100 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$