Resolver {l}{2x+3y=4}{3x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=14$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=4$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+2 na outra ecuación, 3x+4y=10.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+4y=10$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+4y=10$$

Suma -\frac{9y}{2} a 4y.

$$-\frac{1}{2}y+6=10$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x=-\frac{3}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)+2$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -8.

$$x=12+2$$

Suma 2 a 12.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=-8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 4+3\times 10\\3\times 4-2\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=14,y=-8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 4y=2\times 10$$

Simplifica.

$$6x+9y=12,6x+8y=20$$

Resta 6x+8y=20 de 6x+9y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y-8y=12-20$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-8y=12-20$$

Suma 9y a -8y.

$$y=12-20$$

Suma 12 a -20.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en 3x+4y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-8\right)=10$$

Multiplica 4 por -8.

$$3x-32=10$$

Suma 32 en ambos lados da ecuación.

$$3x=42$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=-8$$