Resolver {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=20$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+10 na outra ecuación, 7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

Multiplica 7 por -\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

Suma -\frac{21y}{2} a 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

Resta 70 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{3}{2}y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 2.

$$x=-3+10$$

Suma 10 a -3.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Para que 2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

Simplifica.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

Resta 14x+4y=106 de 14x+21y=140 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y-4y=140-106$$

Suma 21y a -4y.

$$17y=140-106$$

Suma 140 a -106.

$$17y=34$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 7x+2y=53. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+2\times 2=53$$

Multiplica 2 por 2.

$$7x+4=53$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$7x=49$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$