Resolver {l}{2x+3y=2}{5y+2x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+1 na outra ecuación, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

Multiplica 2 por -\frac{3y}{2}+1.

$$-3y+2+5y=1$$

Suma -3y a 5y.

$$2y+2=1$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en x=-\frac{3}{2}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{1}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

Suma 1 a \frac{3}{4}.

$$x=\frac{7}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Resta 2x+5y=1 de 2x+3y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-5y=2-1$$

Suma 3y a -5y.

$$-2y=2-1$$

Suma 2 a -1.

$$-2y=1$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en 2x+5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

Multiplica 5 por -\frac{1}{2}.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$