Resolver {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+1 na outra ecuación, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Multiplica 4 por -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

Suma -6y a 16y.

$$10y+4=3$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$10y=-1$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Substitúe y por -\frac{1}{10} en x=-\frac{3}{2}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -\frac{1}{10} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Suma 1 a \frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Simplifica.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Resta 8x+32y=6 de 8x+12y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-32y=8-6$$

Suma 12y a -32y.

$$-20y=8-6$$

Suma 8 a -6.

$$-20y=2$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Substitúe y por -\frac{1}{10} en 4x+16y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Multiplica 16 por -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Suma \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{23}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$