Resolver {l}{2x+3y=12}{3x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=12$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+6 na outra ecuación, 3x+2y=13.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+2y=13$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{2}+6.

$$-\frac{9}{2}y+18+2y=13$$

Suma -\frac{9y}{2} a 2y.

$$-\frac{5}{2}y+18=13$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{3}{2}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 2.

$$x=-3+6$$

Suma 6 a -3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 12+\frac{3}{5}\times 13\\\frac{3}{5}\times 12-\frac{2}{5}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 12,2\times 3x+2\times 2y=2\times 13$$

Simplifica.

$$6x+9y=36,6x+4y=26$$

Resta 6x+4y=26 de 6x+9y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y-4y=36-26$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-4y=36-26$$

Suma 9y a -4y.

$$5y=36-26$$

Suma 36 a -26.

$$5y=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x+2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times 2=13$$

Multiplica 2 por 2.

$$3x+4=13$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$