Resolver {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=26$$

$$y=16$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=100$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+100$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+100.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+50 na outra ecuación, x+y=42.

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

Suma -\frac{3y}{2} a y.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=16$$

Substitúe y por 16 en x=-\frac{3}{2}y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 16.

$$x=-24+50$$

Suma 50 a -24.

$$x=26$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=26,y=16$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=26,y=16$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

Simplifica.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

Resta 2x+2y=84 de 2x+3y=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-2y=100-84$$

Suma 3y a -2y.

$$y=100-84$$

Suma 100 a -84.

$$y=16$$

Substitúe y por 16 en x+y=42. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+16=42$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$x=26$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=26,y=16$$