Resolver {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Multiplica 4 por -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Suma -6y a 5y.

$$-y+20=42$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-y=22$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-22$$

Substitúe y por -22 en x=-\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -22.

$$x=33+5$$

Suma 5 a 33.

$$x=38$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=38,y=-22$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=38,y=-22$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Simplifica.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Resta 8x+10y=84 de 8x+12y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-10y=40-84$$

Suma 12y a -10y.

$$2y=40-84$$

Suma 40 a -84.

$$2y=-44$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-22$$

Substitúe y por -22 en 4x+5y=42. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Multiplica 5 por -22.

$$4x-110=42$$

Suma 110 en ambos lados da ecuación.

$$4x=152$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=38$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=38,y=-22$$