Resolver {l}{2x+2y=4}{3x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y+4.

$$x=-y+2$$

Substitúe x por -y+2 na outra ecuación, 3x-2y=12.

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

Multiplica 3 por -y+2.

$$-3y+6-2y=12$$

Suma -3y a -2y.

$$-5y+6=12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=6$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Substitúe y por -\frac{6}{5} en x=-y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

Multiplica -1 por -\frac{6}{5}.

$$x=\frac{6}{5}+2$$

Suma 2 a \frac{6}{5}.

$$x=\frac{16}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

Simplifica.

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

Resta 6x-4y=24 de 6x+6y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+4y=12-24$$

Suma 6y a 4y.

$$10y=12-24$$

Suma 12 a -24.

$$10y=-12$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Substitúe y por -\frac{6}{5} en 3x-2y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

Multiplica -2 por -\frac{6}{5}.

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{48}{5}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{16}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$