Resolver {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=28$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y+28$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y+28.

$$x=-y+14$$

Substitúe x por -y+14 na outra ecuación, x+3y=24.

$$-y+14+3y=24$$

Suma -y a 3y.

$$2y+14=24$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$2y=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+14$$

Suma 14 a -5.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

Simplifica.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

Resta 2x+6y=48 de 2x+2y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-6y=28-48$$

Suma 2y a -6y.

$$-4y=28-48$$

Suma 28 a -48.

$$-4y=-20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+3y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\times 5=24$$

Multiplica 3 por 5.

$$x+15=24$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=5$$