Resolver {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=0$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y.

$$x=-y$$

Substitúe x por -y na outra ecuación, 3x-y=2.

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

Multiplica 3 por -y.

$$-3y-y=2$$

Suma -3y a -y.

$$-4y=2$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en x=-y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Multiplica -1 por -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Simplifica.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

Resta 6x-2y=4 de 6x+6y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+2y=-4$$

Suma 6y a 2y.

$$8y=-4$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en 3x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$