Resolver {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

Resolver w, n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a w mediante o illamento de w no lado esquerdo do signo igual.

$$2w+n=5050$$

Resta n en ambos lados da ecuación.

$$2w=-n+5050$$

Divide ambos lados entre 2.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

Substitúe w por -\frac{n}{2}+2525 na outra ecuación, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

Multiplica 3 por -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

Suma -\frac{3n}{2} a 2n.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

Resta 7575 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$n=2950$$

Substitúe n por 2950 en w=-\frac{1}{2}n+2525. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2950.

$$w=-1475+2525$$

Suma 2525 a -1475.

$$w=1050$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=1050,n=2950$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz w e n.

$$w=1050,n=2950$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Para que 2w e 3w sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Simplifica.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

Resta 6w+4n=18100 de 6w+3n=15150 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

Suma 6w a -6w. 6w e -6w anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3n-4n=15150-18100$$

Suma 3n a -4n.

$$-n=15150-18100$$

Suma 15150 a -18100.

$$-n=-2950$$

Divide ambos lados entre -1.

$$n=2950$$

Substitúe n por 2950 en 3w+2n=9050. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$3w+2\times 2950=9050$$

Multiplica 2 por 2950.

$$3w+5900=9050$$

Resta 5900 en ambos lados da ecuación.

$$3w=3150$$

Divide ambos lados entre 3.

$$w=1050$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=1050,n=2950$$