Resolver {l}{2m-3n=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=2$$

$$n=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$2m-3n=1$$

Suma 3n en ambos lados da ecuación.

$$2m=3n+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Substitúe m por \frac{3n+1}{2} na outra ecuación, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+n=3$$

Suma \frac{3n}{2} a n.

$$\frac{5}{2}n+\frac{1}{2}=3$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}n=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=\frac{3+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=2,n=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=2,n=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Para que 2m e m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2m-3n=1,2m+2n=2\times 3$$

Simplifica.

$$2m-3n=1,2m+2n=6$$

Resta 2m+2n=6 de 2m-3n=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2m-2m-3n-2n=1-6$$

Suma 2m a -2m. 2m e -2m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3n-2n=1-6$$

Suma -3n a -2n.

$$-5n=1-6$$

Suma 1 a -6.

$$-5n=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en m+n=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m+1=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$m=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=2,n=1$$