Resolver {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$2m+3n=22$$

Resta 3n en ambos lados da ecuación.

$$2m=-3n+22$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Substitúe m por -\frac{3n}{2}+11 na outra ecuación, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Suma -\frac{3n}{2} a -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Resta 11 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=\frac{10}{7}$$

Substitúe n por \frac{10}{7} en m=-\frac{3}{2}n+11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{10}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Suma 11 a -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Para que 2m e m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Simplifica.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Resta 2m-4n=12 de 2m+3n=22 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Suma 2m a -2m. 2m e -2m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3n+4n=22-12$$

Suma 3n a 4n.

$$7n=22-12$$

Suma 22 a -12.

$$7n=10$$

Divide ambos lados entre 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

Substitúe n por \frac{10}{7} en m-2n=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Multiplica -2 por \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Suma \frac{20}{7} en ambos lados da ecuación.

$$m=\frac{62}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$