Resolver {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2bx+ay=2ab$$

Resta ay en ambos lados da ecuación.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Divide ambos lados entre 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Multiplica \frac{1}{2b} por a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Substitúe x por a-\frac{ay}{2b} na outra ecuación, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Multiplica b por a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Suma -\frac{ay}{2} a -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Resta ba en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Divide ambos lados entre -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Substitúe y por -2b en x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Multiplica -\frac{a}{2b} por -2b.

$$x=a+a$$

Suma a a a.

$$x=2a$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2a,y=-2b$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2a,y=-2b$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Para que 2bx e bx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por b e todos os termos a cada lado da segunda por 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Simplifica.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Resta 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} de 2b^{2}x+aby=2ab^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma 2b^{2}x a -2b^{2}x. 2b^{2}x e -2b^{2}x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma bay a 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma 2ab^{2} a -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Divide ambos lados entre 3ba.

$$y=-2b$$

Substitúe y por -2b en bx+\left(-a\right)y=4ab. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Multiplica -a por -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Resta 2ba en ambos lados da ecuación.

$$bx=2ab$$

Divide ambos lados entre b.

$$x=2a$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2a,y=-2b$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2bx+ay=2ab$$

Resta ay en ambos lados da ecuación.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Divide ambos lados entre 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Multiplica \frac{1}{2b} por a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Substitúe x por a-\frac{ay}{2b} na outra ecuación, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Multiplica b por a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Suma -\frac{ay}{2} a -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Resta ba en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Divide ambos lados entre -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Substitúe y por -2b en x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Multiplica -\frac{a}{2b} por -2b.

$$x=a+a$$

Suma a a a.

$$x=2a$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2a,y=-2b$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2a,y=-2b$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Para que 2bx e bx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por b e todos os termos a cada lado da segunda por 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Simplifica.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Resta 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} de 2b^{2}x+aby=2ab^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma 2b^{2}x a -2b^{2}x. 2b^{2}x e -2b^{2}x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma bay a 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Suma 2ab^{2} a -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Divide ambos lados entre 3ba.

$$y=-2b$$

Substitúe y por -2b en bx+\left(-a\right)y=4ab. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Multiplica -a por -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Resta 2ba en ambos lados da ecuación.

$$bx=2ab$$

Divide ambos lados entre b.

$$x=2a$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2a,y=-2b$$