Resolver {l}{2a+b=5}{a+b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+b=5$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-b+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Substitúe a por \frac{-b+5}{2} na outra ecuación, a+b=2.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+b=2$$

Suma -\frac{b}{2} a b.

$$\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}=2$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$b=-1$$

Substitúe b por -1 en a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-2\\-5+2\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=3,b=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Resta a+b=2 de 2a+b=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a-a+b-b=5-2$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2a-a=5-2$$

Suma 2a a -a.

$$a=5-2$$

Suma 5 a -2.

$$a=3$$

Substitúe a por 3 en a+b=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$3+b=2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$b=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=-1$$