Resolver {l}{2a+b=420}{11a+5b=1848}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 420 } \\ { 11 a + 5 b = 1848 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-252$$

$$b=924$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+b=420$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-b+420$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+420\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -b+420.

$$a=-\frac{1}{2}b+210$$

Substitúe a por -\frac{b}{2}+210 na outra ecuación, 11a+5b=1848.

$$11\left(-\frac{1}{2}b+210\right)+5b=1848$$

Multiplica 11 por -\frac{b}{2}+210.

$$-\frac{11}{2}b+2310+5b=1848$$

Suma -\frac{11b}{2} a 5b.

$$-\frac{1}{2}b+2310=1848$$

Resta 2310 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}b=-462$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$b=924$$

Substitúe b por 924 en a=-\frac{1}{2}b+210. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{2}\times 924+210$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 924.

$$a=-462+210$$

Suma 210 a -462.

$$a=-252$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-252,b=924$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-11}&-\frac{1}{2\times 5-11}\\-\frac{11}{2\times 5-11}&\frac{2}{2\times 5-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&1\\11&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 420+1848\\11\times 420-2\times 1848\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-252\\924\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-252,b=924$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

Para que 2a e 11a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 11 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$11\times 2a+11b=11\times 420,2\times 11a+2\times 5b=2\times 1848$$

Simplifica.

$$22a+11b=4620,22a+10b=3696$$

Resta 22a+10b=3696 de 22a+11b=4620 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$22a-22a+11b-10b=4620-3696$$

Suma 22a a -22a. 22a e -22a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$11b-10b=4620-3696$$

Suma 11b a -10b.

$$b=4620-3696$$

Suma 4620 a -3696.

$$b=924$$

Substitúe b por 924 en 11a+5b=1848. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$11a+5\times 924=1848$$

Multiplica 5 por 924.

$$11a+4620=1848$$

Resta 4620 en ambos lados da ecuación.

$$11a=-2772$$

Divide ambos lados entre 11.

$$a=-252$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-252,b=924$$