Resolver {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-12$$

$$b=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+3b=0$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-3b$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3b.

$$a=-\frac{3}{2}b$$

Substitúe a por -\frac{3b}{2} na outra ecuación, 2a+5b=16.

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

Multiplica 2 por -\frac{3b}{2}.

$$-3b+5b=16$$

Suma -3b a 5b.

$$2b=16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$b=8$$

Substitúe b por 8 en a=-\frac{3}{2}b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 8.

$$a=-12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-12,b=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-12,b=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Resta 2a+5b=16 de 2a+3b=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

Suma 2a a -2a. 2a e -2a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3b-5b=-16$$

Suma 3b a -5b.

$$-2b=-16$$

Divide ambos lados entre -2.

$$b=8$$

Substitúe b por 8 en 2a+5b=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a+5\times 8=16$$

Multiplica 5 por 8.

$$2a+40=16$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$2a=-24$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=-12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-12,b=8$$