Resolver {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2 en ambos lados.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Suma \frac{1}{2} e 2 para obter \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8 por Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Resta 4 de 9 para obter 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Resta 9X en ambos lados.

$$8Y-4-9X=5$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$8Y-9X=5+4$$

Suma 5 e 4 para obter 9.

$$8Y-9X=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a X mediante o illamento de X no lado esquerdo do signo igual.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Resta 4Y en ambos lados da ecuación.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Substitúe X por -2Y+\frac{5}{4} na outra ecuación, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Multiplica -9 por -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Suma 18Y a 8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Suma \frac{45}{4} en ambos lados da ecuación.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Divide ambos lados entre 26.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Substitúe Y por \frac{81}{104} en X=-2Y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar X directamente.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Multiplica -2 por \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a -\frac{81}{52} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$X=-\frac{4}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2 en ambos lados.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Suma \frac{1}{2} e 2 para obter \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8 por Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Resta 4 de 9 para obter 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Resta 9X en ambos lados.

$$8Y-4-9X=5$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$8Y-9X=5+4$$

Suma 5 e 4 para obter 9.

$$8Y-9X=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz X e Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2 en ambos lados.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Suma \frac{1}{2} e 2 para obter \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 8 por Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 9 por X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Resta 4 de 9 para obter 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Resta 9X en ambos lados.

$$8Y-4-9X=5$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$8Y-9X=5+4$$

Suma 5 e 4 para obter 9.

$$8Y-9X=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Para que 2X e -9X sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Simplifica.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Resta -18X+16Y=18 de -18X-36Y=-\frac{45}{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Suma -18X a 18X. -18X e 18X anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Suma -36Y a -16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Suma -\frac{45}{2} a -18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Divide ambos lados entre -52.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Substitúe Y por \frac{81}{104} en -9X+8Y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar X directamente.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Multiplica 8 por \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Resta \frac{81}{13} en ambos lados da ecuación.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Divide ambos lados entre -9.

$$X=-\frac{4}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$