Resolver {l}{2lambda-3b=-12}{5lambda-8b=-40}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 \lambda - 3 b = - 12 } \\ { 5 \lambda - 8 b = - 40 } \end{array} \right.$$

Resolver λ, b

$$\lambda =24$$

$$b=20$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a \lambda mediante o illamento de \lambda no lado esquerdo do signo igual.

$$2\lambda -3b=-12$$

Suma 3b en ambos lados da ecuación.

$$2\lambda =3b-12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\lambda =\frac{1}{2}\left(3b-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -12+3b.

$$\lambda =\frac{3}{2}b-6$$

Substitúe \lambda por \frac{3b}{2}-6 na outra ecuación, 5\lambda -8b=-40.

$$5\left(\frac{3}{2}b-6\right)-8b=-40$$

Multiplica 5 por \frac{3b}{2}-6.

$$\frac{15}{2}b-30-8b=-40$$

Suma \frac{15b}{2} a -8b.

$$-\frac{1}{2}b-30=-40$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}b=-10$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$b=20$$

Substitúe b por 20 en \lambda =\frac{3}{2}b-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar \lambda directamente.

$$\lambda =\frac{3}{2}\times 20-6$$

Multiplica \frac{3}{2} por 20.

$$\lambda =30-6$$

Suma -6 a 30.

$$\lambda =24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$\lambda =24,b=20$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-8\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\left(-12\right)-3\left(-40\right)\\5\left(-12\right)-2\left(-40\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}\lambda \\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz \lambda e b.

$$\lambda =24,b=20$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2\lambda -3b=-12,5\lambda -8b=-40$$

Para que 2\lambda e 5\lambda sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2\lambda +5\left(-3\right)b=5\left(-12\right),2\times 5\lambda +2\left(-8\right)b=2\left(-40\right)$$

Simplifica.

$$10\lambda -15b=-60,10\lambda -16b=-80$$

Resta 10\lambda -16b=-80 de 10\lambda -15b=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10\lambda -10\lambda -15b+16b=-60+80$$

Suma 10\lambda a -10\lambda . 10\lambda e -10\lambda anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15b+16b=-60+80$$

Suma -15b a 16b.

$$b=-60+80$$

Suma -60 a 80.

$$b=20$$

Substitúe b por 20 en 5\lambda -8b=-40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar \lambda directamente.

$$5\lambda -8\times 20=-40$$

Multiplica -8 por 20.

$$5\lambda -160=-40$$

Suma 160 en ambos lados da ecuación.

$$5\lambda =120$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\lambda =24$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$\lambda =24,b=20$$