Resolver {l}{19x+3y=1}{19x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$19x+3y=1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$19x=-3y+1$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{19} por -3y+1.

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

Substitúe x por \frac{-3y+1}{19} na outra ecuación, 19x+4y=0.

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

Multiplica 19 por \frac{-3y+1}{19}.

$$-3y+1+4y=0$$

Suma -3y a 4y.

$$y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

Multiplica -\frac{3}{19} por -1.

$$x=\frac{3+1}{19}$$

Suma \frac{1}{19} a \frac{3}{19} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Resta 19x+4y=0 de 19x+3y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$19x-19x+3y-4y=1$$

Suma 19x a -19x. 19x e -19x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-4y=1$$

Suma 3y a -4y.

$$-y=1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 19x+4y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

Multiplica 4 por -1.

$$19x-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$19x=4$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=\frac{4}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$