Resolver {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$1200x+1600y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$600x+2400y=17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$1200x+1600y=18$$

Resta 1600y en ambos lados da ecuación.

$$1200x=-1600y+18$$

Divide ambos lados entre 1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{1200} por -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} na outra ecuación, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Multiplica 600 por -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Suma -800y a 2400y.

$$1600y+9=17$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$1600y=8$$

Divide ambos lados entre 1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Substitúe y por \frac{1}{200} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{1}{200} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Suma \frac{3}{200} a -\frac{1}{150} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{120}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$1200x+1600y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$600x+2400y=17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$1200x+1600y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$600x+2400y=17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Para que 1200x e 600x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 600 e todos os termos a cada lado da segunda por 1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Simplifica.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Resta 720000x+2880000y=20400 de 720000x+960000y=10800 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Suma 720000x a -720000x. 720000x e -720000x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Suma 960000y a -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Suma 10800 a -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Divide ambos lados entre -1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Substitúe y por \frac{1}{200} en 600x+2400y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Multiplica 2400 por \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$600x=5$$

Divide ambos lados entre 600.

$$x=\frac{1}{120}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$