Resolver {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$16x-7y=-7$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$16x=7y-7$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por -7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

Substitúe x por \frac{-7+7y}{16} na outra ecuación, 20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

Multiplica 20 por \frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

Suma \frac{35y}{4} a -19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

Suma \frac{35}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{41}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Substitúe y por -\frac{11}{41} en x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

Multiplica \frac{7}{16} por -\frac{11}{41} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

Suma -\frac{7}{16} a -\frac{77}{656} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{91}{164}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Para que 16x e 20x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 20 e todos os termos a cada lado da segunda por 16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

Simplifica.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

Resta 320x-304y=-96 de 320x-140y=-140 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

Suma 320x a -320x. 320x e -320x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-140y+304y=-140+96$$

Suma -140y a 304y.

$$164y=-140+96$$

Suma -140 a 96.

$$164y=-44$$

Divide ambos lados entre 164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Substitúe y por -\frac{11}{41} en 20x-19y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

Multiplica -19 por -\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

Resta \frac{209}{41} en ambos lados da ecuación.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

Divide ambos lados entre 20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$