Resolver {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$16x-10y=10$$

Suma 10y en ambos lados da ecuación.

$$16x=10y+10$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Substitúe x por \frac{5+5y}{8} na outra ecuación, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

Multiplica -8 por \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Suma -5y a -6y.

$$-11y-5=6$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=11$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

Multiplica \frac{5}{8} por -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Suma \frac{5}{8} a -\frac{5}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Para que 16x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por 16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Simplifica.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Resta -128x-96y=96 de -128x+80y=-80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Suma -128x a 128x. -128x e 128x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$80y+96y=-80-96$$

Suma 80y a 96y.

$$176y=-80-96$$

Suma -80 a -96.

$$176y=-176$$

Divide ambos lados entre 176.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -8x-6y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

Multiplica -6 por -1.

$$-8x+6=6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=0$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-1$$