Resolver {l}{16x+2y=340}{2x+2y=180}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x + 2 y = 340 } \\ { 2 x + 2 y = 180 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{80}{7} = 11\frac{3}{7} \approx 11.428571429$$

$$y = \frac{550}{7} = 78\frac{4}{7} \approx 78.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$16x+2y=340$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$16x=-2y+340$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+340\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por -2y+340.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}$$

Substitúe x por -\frac{y}{8}+\frac{85}{4} na outra ecuación, 2x+2y=180.

$$2\left(-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}\right)+2y=180$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{8}+\frac{85}{4}.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{85}{2}+2y=180$$

Suma -\frac{y}{4} a 2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{85}{2}=180$$

Resta \frac{85}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{4}y=\frac{275}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{550}{7}$$

Substitúe y por \frac{550}{7} en x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{550}{7}+\frac{85}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{8} por \frac{550}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{275}{28}+\frac{85}{4}$$

Suma \frac{85}{4} a -\frac{275}{28} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{80}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}\\-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&\frac{16}{16\times 2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 340-\frac{1}{14}\times 180\\-\frac{1}{14}\times 340+\frac{4}{7}\times 180\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{7}\\\frac{550}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Resta 2x+2y=180 de 16x+2y=340 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16x-2x+2y-2y=340-180$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16x-2x=340-180$$

Suma 16x a -2x.

$$14x=340-180$$

Suma 340 a -180.

$$14x=160$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=\frac{80}{7}$$

Substitúe x por \frac{80}{7} en 2x+2y=180. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\times \frac{80}{7}+2y=180$$

Multiplica 2 por \frac{80}{7}.

$$\frac{160}{7}+2y=180$$

Resta \frac{160}{7} en ambos lados da ecuación.

$$2y=\frac{1100}{7}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{550}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$