Resolver {l}{15x+35y=1225}{=x+y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 35 y = 1225 } \\ { = x + y = 55 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=35$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$15x+35y=1225,x+y=55$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$15x+35y=1225$$

Resta 35y en ambos lados da ecuación.

$$15x=-35y+1225$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-35y+1225\right)$$

Multiplica \frac{1}{15} por -35y+1225.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{245}{3}$$

Substitúe x por \frac{-7y+245}{3} na outra ecuación, x+y=55.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{245}{3}+y=55$$

Suma -\frac{7y}{3} a y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{245}{3}=55$$

Resta \frac{245}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{80}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x=-\frac{7}{3}y+\frac{245}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{3}\times 20+\frac{245}{3}$$

Multiplica -\frac{7}{3} por 20.

$$x=\frac{-140+245}{3}$$

Suma \frac{245}{3} a -\frac{140}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=35$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=35,y=20$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$15x+35y=1225,x+y=55$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15-35}&-\frac{35}{15-35}\\-\frac{1}{15-35}&\frac{15}{15-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{7}{4}\\\frac{1}{20}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1225\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 1225+\frac{7}{4}\times 55\\\frac{1}{20}\times 1225-\frac{3}{4}\times 55\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=35,y=20$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$15x+35y=1225,x+y=55$$

Para que 15x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 15.

$$15x+35y=1225,15x+15y=15\times 55$$

Simplifica.

$$15x+35y=1225,15x+15y=825$$

Resta 15x+15y=825 de 15x+35y=1225 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+35y-15y=1225-825$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$35y-15y=1225-825$$

Suma 35y a -15y.

$$20y=1225-825$$

Suma 1225 a -825.

$$20y=400$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x+y=55. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+20=55$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$x=35$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=35,y=20$$