Resolver {l}{14x+3y=-12}{15x+4y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 14 x + 3 y = - 12 } \\ { 15 x + 4 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = -\frac{30}{11} = -2\frac{8}{11} \approx -2.727272727$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$14x+3y=-12$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$14x=-3y-12$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=\frac{1}{14}\left(-3y-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{14} por -3y-12.

$$x=-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{14}-\frac{6}{7} na outra ecuación, 15x+4y=-15.

$$15\left(-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}\right)+4y=-15$$

Multiplica 15 por -\frac{3y}{14}-\frac{6}{7}.

$$-\frac{45}{14}y-\frac{90}{7}+4y=-15$$

Suma -\frac{45y}{14} a 4y.

$$\frac{11}{14}y-\frac{90}{7}=-15$$

Suma \frac{90}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{14}y=-\frac{15}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{14}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{30}{11}$$

Substitúe y por -\frac{30}{11} en x=-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{14}\left(-\frac{30}{11}\right)-\frac{6}{7}$$

Multiplica -\frac{3}{14} por -\frac{30}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{45}{77}-\frac{6}{7}$$

Suma -\frac{6}{7} a \frac{45}{77} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{14\times 4-3\times 15}&-\frac{3}{14\times 4-3\times 15}\\-\frac{15}{14\times 4-3\times 15}&\frac{14}{14\times 4-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{15}{11}&\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\left(-12\right)-\frac{3}{11}\left(-15\right)\\-\frac{15}{11}\left(-12\right)+\frac{14}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\-\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

Para que 14x e 15x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 15 e todos os termos a cada lado da segunda por 14.

$$15\times 14x+15\times 3y=15\left(-12\right),14\times 15x+14\times 4y=14\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$210x+45y=-180,210x+56y=-210$$

Resta 210x+56y=-210 de 210x+45y=-180 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$210x-210x+45y-56y=-180+210$$

Suma 210x a -210x. 210x e -210x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$45y-56y=-180+210$$

Suma 45y a -56y.

$$-11y=-180+210$$

Suma -180 a 210.

$$-11y=30$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-\frac{30}{11}$$

Substitúe y por -\frac{30}{11} en 15x+4y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$15x+4\left(-\frac{30}{11}\right)=-15$$

Multiplica 4 por -\frac{30}{11}.

$$15x-\frac{120}{11}=-15$$

Suma \frac{120}{11} en ambos lados da ecuación.

$$15x=-\frac{45}{11}$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=-\frac{3}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$