Resolver {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$12x+4y=6$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$12x=-4y+6$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} na outra ecuación, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Multiplica 9 por -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Suma -3y a 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Substitúe y por \frac{7}{26} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{7}{26} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{7}{78} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{16}{39}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Para que 12x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Simplifica.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Resta 108x+192y=96 de 108x+36y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Suma 108x a -108x. 108x e -108x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y-192y=54-96$$

Suma 36y a -192y.

$$-156y=54-96$$

Suma 54 a -96.

$$-156y=-42$$

Divide ambos lados entre -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Substitúe y por \frac{7}{26} en 9x+16y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Multiplica 16 por \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Resta \frac{56}{13} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$