Resolver {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$12a+4b=-4$$

Resta 4b en ambos lados da ecuación.

$$12a=-4b-4$$

Divide ambos lados entre 12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Substitúe a por \frac{-b-1}{3} na outra ecuación, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

Multiplica 3 por \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

Suma -b a -9b.

$$-10b-1=-21$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$-10b=-20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-1,b=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-1,b=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Para que 12a e 3a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Simplifica.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Resta 36a-108b=-252 de 36a+12b=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Suma 36a a -36a. 36a e -36a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12b+108b=-12+252$$

Suma 12b a 108b.

$$120b=-12+252$$

Suma -12 a 252.

$$120b=240$$

Divide ambos lados entre 120.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en 3a-9b=-21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$3a-9\times 2=-21$$

Multiplica -9 por 2.

$$3a-18=-21$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$3a=-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-1,b=2$$