Resolver {l}{110x+73y=1}{37x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 110 x + 73 y = 1 } \\ { 37 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1237}{2261}\approx 0.547103052$$

$$y=-\frac{1833}{2261}\approx -0.810703229$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$110x+73y=1,37x+4y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$110x+73y=1$$

Resta 73y en ambos lados da ecuación.

$$110x=-73y+1$$

Divide ambos lados entre 110.

$$x=\frac{1}{110}\left(-73y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{110} por -73y+1.

$$x=-\frac{73}{110}y+\frac{1}{110}$$

Substitúe x por \frac{-73y+1}{110} na outra ecuación, 37x+4y=17.

$$37\left(-\frac{73}{110}y+\frac{1}{110}\right)+4y=17$$

Multiplica 37 por \frac{-73y+1}{110}.

$$-\frac{2701}{110}y+\frac{37}{110}+4y=17$$

Suma -\frac{2701y}{110} a 4y.

$$-\frac{2261}{110}y+\frac{37}{110}=17$$

Resta \frac{37}{110} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2261}{110}y=\frac{1833}{110}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2261}{110}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1833}{2261}$$

Substitúe y por -\frac{1833}{2261} en x=-\frac{73}{110}y+\frac{1}{110}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{73}{110}\left(-\frac{1833}{2261}\right)+\frac{1}{110}$$

Multiplica -\frac{73}{110} por -\frac{1833}{2261} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{133809}{248710}+\frac{1}{110}$$

Suma \frac{1}{110} a \frac{133809}{248710} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1237}{2261}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1237}{2261},y=-\frac{1833}{2261}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$110x+73y=1,37x+4y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&73\\37&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{110\times 4-73\times 37}&-\frac{73}{110\times 4-73\times 37}\\-\frac{37}{110\times 4-73\times 37}&\frac{110}{110\times 4-73\times 37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2261}&\frac{73}{2261}\\\frac{37}{2261}&-\frac{110}{2261}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2261}+\frac{73}{2261}\times 17\\\frac{37}{2261}-\frac{110}{2261}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1237}{2261}\\-\frac{1833}{2261}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1237}{2261},y=-\frac{1833}{2261}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$110x+73y=1,37x+4y=17$$

Para que 110x e 37x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 37 e todos os termos a cada lado da segunda por 110.

$$37\times 110x+37\times 73y=37,110\times 37x+110\times 4y=110\times 17$$

Simplifica.

$$4070x+2701y=37,4070x+440y=1870$$

Resta 4070x+440y=1870 de 4070x+2701y=37 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4070x-4070x+2701y-440y=37-1870$$

Suma 4070x a -4070x. 4070x e -4070x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2701y-440y=37-1870$$

Suma 2701y a -440y.

$$2261y=37-1870$$

Suma 37 a -1870.

$$2261y=-1833$$

Divide ambos lados entre 2261.

$$y=-\frac{1833}{2261}$$

Substitúe y por -\frac{1833}{2261} en 37x+4y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$37x+4\left(-\frac{1833}{2261}\right)=17$$

Multiplica 4 por -\frac{1833}{2261}.

$$37x-\frac{7332}{2261}=17$$

Suma \frac{7332}{2261} en ambos lados da ecuación.

$$37x=\frac{45769}{2261}$$

Divide ambos lados entre 37.

$$x=\frac{1237}{2261}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1237}{2261},y=-\frac{1833}{2261}$$