Resolver {l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99}

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

Resolver b, c

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a b mediante o illamento de b no lado esquerdo do signo igual.

$$110b+218c=-93$$

Resta 218c en ambos lados da ecuación.

$$110b=-218c-93$$

Divide ambos lados entre 110.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

Multiplica \frac{1}{110} por -218c-93.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

Substitúe b por -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} na outra ecuación, 109b+227c=-99.

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

Multiplica 109 por -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

Suma -\frac{11881c}{55} a 227c.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

Suma \frac{10137}{110} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{604}{55}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Substitúe c por -\frac{753}{1208} en b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

Multiplica -\frac{109}{55} por -\frac{753}{1208} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

Suma -\frac{93}{110} a \frac{82077}{66440} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$b=\frac{471}{1208}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz b e c.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Para que 110b e 109b sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 109 e todos os termos a cada lado da segunda por 110.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

Simplifica.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

Resta 11990b+24970c=-10890 de 11990b+23762c=-10137 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

Suma 11990b a -11990b. 11990b e -11990b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

Suma 23762c a -24970c.

$$-1208c=-10137+10890$$

Suma -10137 a 10890.

$$-1208c=753$$

Divide ambos lados entre -1208.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Substitúe c por -\frac{753}{1208} en 109b+227c=-99. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

Multiplica 227 por -\frac{753}{1208}.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

Suma \frac{170931}{1208} en ambos lados da ecuación.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

Divide ambos lados entre 109.

$$b=\frac{471}{1208}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$