Resolver {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+4y=-12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-4y-12$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{-2y-6}{5} na outra ecuación, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

Multiplica -9 por \frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

Suma \frac{18y}{5} a -5y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Resta \frac{54}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

Multiplica -\frac{2}{5} por 7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Suma -\frac{6}{5} a -\frac{14}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Para que 10x e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Simplifica.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Resta -90x-50y=10 de -90x-36y=108 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

Suma -90x a 90x. -90x e 90x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-36y+50y=108-10$$

Suma -36y a 50y.

$$14y=108-10$$

Suma 108 a -10.

$$14y=98$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en -9x-5y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x-5\times 7=1$$

Multiplica -5 por 7.

$$-9x-35=1$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$-9x=36$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=7$$