Resolver {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+2y=50$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-2y+50$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Substitúe x por -\frac{y}{5}+5 na outra ecuación, 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

Multiplica 7 por -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Suma -\frac{7y}{5} a 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Resta 35 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-25$$

Substitúe y por -25 en x=-\frac{1}{5}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -25.

$$x=5+5$$

Suma 5 a 5.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-25$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=-25$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Resta 7x+2y=20 de 10x+2y=50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10x-7x=50-20$$

Suma 10x a -7x.

$$3x=50-20$$

Suma 50 a -20.

$$3x=30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en 7x+2y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$7\times 10+2y=20$$

Multiplica 7 por 10.

$$70+2y=20$$

Resta 70 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-50$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-25$$