Resolver {l}{1x-3y=1}{3y+x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x - 3 y = 1 } \\ { 3 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+1$$

Substitúe x por 3y+1 na outra ecuación, x+3y=2.

$$3y+1+3y=2$$

Suma 3y a 3y.

$$6y+1=2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$6y=1$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{1}{6}$$

Substitúe y por \frac{1}{6} en x=3y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times \frac{1}{6}+1$$

Multiplica 3 por \frac{1}{6}.

$$x=\frac{1}{2}+1$$

Suma 1 a \frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Resta x+3y=2 de x-3y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-3y-3y=1-2$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-3y=1-2$$

Suma -3y a -3y.

$$-6y=1-2$$

Suma 1 a -2.

$$-6y=-1$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{1}{6}$$

Substitúe y por \frac{1}{6} en x+3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\times \frac{1}{6}=2$$

Multiplica 3 por \frac{1}{6}.

$$x+\frac{1}{2}=2$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$