Resolver {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=280$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+280$$

Substitúe x por -4y+280 na outra ecuación, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

Multiplica 4 por -4y+280.

$$-16y+1120+y=124$$

Suma -16y a y.

$$-15y+1120=124$$

Resta 1120 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-996$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=\frac{332}{5}$$

Substitúe y por \frac{332}{5} en x=-4y+280. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

Multiplica -4 por \frac{332}{5}.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

Suma 280 a -\frac{1328}{5}.

$$x=\frac{72}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

Simplifica.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

Resta 4x+y=124 de 4x+16y=1120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y-y=1120-124$$

Suma 16y a -y.

$$15y=1120-124$$

Suma 1120 a -124.

$$15y=996$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=\frac{332}{5}$$

Substitúe y por \frac{332}{5} en 4x+y=124. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

Resta \frac{332}{5} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{288}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{72}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$