Resolver {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.5x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$0.5x=-y+9$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Multiplica 2 por -y+9.

$$x=-2y+18$$

Substitúe x por -2y+18 na outra ecuación, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Multiplica 1.6 por -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Suma -\frac{16y}{5} a \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Resta 28.8 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-15.8$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{79}{15}$$

Substitúe y por \frac{79}{15} en x=-2y+18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Multiplica -2 por \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Suma 18 a -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Para que \frac{x}{2} e \frac{8x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1.6 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Simplifica.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Resta 0.8x+0.1y=6.5 de 0.8x+1.6y=14.4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Suma \frac{4x}{5} a -\frac{4x}{5}. \frac{4x}{5} e -\frac{4x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Suma \frac{8y}{5} a -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Suma 14.4 a -6.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$1.5y=7.9$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{79}{15}$$

Substitúe y por \frac{79}{15} en 1.6x+0.2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Multiplica 0.2 por \frac{79}{15} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Resta \frac{79}{75} en ambos lados da ecuación.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{112}{15}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$