Resolver {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.2x+0.1y=-180$$

Resta \frac{y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$0.2x=-0.1y-180$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

Multiplica 5 por -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}-900 na outra ecuación, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

Multiplica -0.7 por -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

Suma \frac{7y}{20} a -\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

Resta 630 en ambos lados da ecuación.

$$0.15y=-150$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.15, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1000$$

Substitúe y por -1000 en x=-0.5y-900. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

Multiplica -0.5 por -1000.

$$x=500-900$$

Suma -900 a 500.

$$x=-400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-400,y=-1000$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-400,y=-1000$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Para que \frac{x}{5} e -\frac{7x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -0.7 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.2.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

Simplifica.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

Resta -0.14x-0.04y=96 de -0.14x-0.07y=126 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

Suma -\frac{7x}{50} a \frac{7x}{50}. -\frac{7x}{50} e \frac{7x}{50} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

Suma -\frac{7y}{100} a \frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

Suma 126 a -96.

$$-0.03y=30$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.03, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1000$$

Substitúe y por -1000 en -0.7x-0.2y=480. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

Multiplica -0.2 por -1000.

$$-0.7x+200=480$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$-0.7x=280$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-400,y=-1000$$