Resolver {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

Resolver x_3, x_2

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{3} mediante o illamento de x_{3} no lado esquerdo do signo igual.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Resta \frac{4x_{2}}{25} en ambos lados da ecuación.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.041, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

Multiplica \frac{1000}{41} por -\frac{4x_{2}}{25}+0.9.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Substitúe x_{3} por \frac{-160x_{2}+900}{41} na outra ecuación, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

Multiplica -0.002 por \frac{-160x_{2}+900}{41}.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

Suma \frac{8x_{2}}{1025} a \frac{41x_{2}}{1000}.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Suma \frac{9}{205} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2001}{41000}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Substitúe x_{2} por \frac{2199}{667} en x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{3} directamente.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Multiplica -\frac{160}{41} por \frac{2199}{667} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Suma \frac{900}{41} a -\frac{351840}{27347} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{3} e x_{2}.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Para que \frac{41x_{3}}{1000} e -\frac{x_{3}}{500} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -0.002 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.041.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Simplifica.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Resta -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 de -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Suma -\frac{41x_{3}}{500000} a \frac{41x_{3}}{500000}. -\frac{41x_{3}}{500000} e \frac{41x_{3}}{500000} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Suma -\frac{x_{2}}{3125} a -\frac{1681x_{2}}{1000000}.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Suma -0.0018 a -0.004797 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.002001, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Substitúe x_{2} por \frac{2199}{667} en -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{3} directamente.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Multiplica 0.041 por \frac{2199}{667} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Resta \frac{90159}{667000} en ambos lados da ecuación.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Multiplica ambos lados por -500.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$