Resolver {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.04x+0.02y=5$$

Resta \frac{y}{50} en ambos lados da ecuación.

$$0.04x=-0.02y+5$$

Multiplica ambos lados por 25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

Multiplica 25 por -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+125 na outra ecuación, 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

Suma 125 a -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

Multiplica 0.5 por -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

Suma -\frac{y}{4} a -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

Resta 61.5 en ambos lados da ecuación.

$$-0.65y=-32.5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.65, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=50$$

Substitúe y por 50 en x=-0.5y+125. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-0.5\times 50+125$$

Multiplica -0.5 por 50.

$$x=-25+125$$

Suma 125 a -25.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=50$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Simplifica a segunda ecuación para convertela a forma estándar.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Multiplica 0.5 por x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$0.5x-0.4y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=100,y=50$$