Resolver {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

Resolver b, c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Resta \frac{1}{3} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3+3b+c=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3b+c=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a b mediante o illamento de b no lado esquerdo do signo igual.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Resta c en ambos lados da ecuación.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

Multiplica -1 por -c-\frac{1}{3}.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

Substitúe b por c+\frac{1}{3} na outra ecuación, 3b+c=-3.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

Multiplica 3 por c+\frac{1}{3}.

$$3c+1+c=-3$$

Suma 3c a c.

$$4c+1=-3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4c=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$c=-1$$

Substitúe c por -1 en b=c+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a -1.

$$b=-\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Resta \frac{1}{3} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3+3b+c=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3b+c=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz b e c.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Resta \frac{1}{3} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3+3b+c=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3b+c=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Resta 3b+c=-3 de -b+c=-\frac{1}{3} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

Suma c a -c. c e -c anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

Suma -b a -3b.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

Suma -\frac{1}{3} a 3.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Substitúe b por -\frac{2}{3} en 3b+c=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

Multiplica 3 por -\frac{2}{3}.

$$-2+c=-3$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$c=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$