Resolver {l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-y=-2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-x=y-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(y-2\right)$$

Multiplica -1 por y-2.

$$x=-y+2$$

Substitúe x por -y+2 na outra ecuación, 9x-2y=-15.

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

Multiplica 9 por -y+2.

$$-9y+18-2y=-15$$

Suma -9y a -2y.

$$-11y+18=-15$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-33$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+2$$

Suma 2 a -3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Para que -x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

Resta -9x+2y=15 de -9x-9y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

Suma -9x a 9x. -9x e 9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-2y=-18-15$$

Suma -9y a -2y.

$$-11y=-18-15$$

Suma -18 a -15.

$$-11y=-33$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 9x-2y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-2\times 3=-15$$

Multiplica -2 por 3.

$$9x-6=-15$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$9x=-9$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$