Resolver {l}{-x-6y=-16}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 6 y = - 16 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-6y=-16$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$-x=6y-16$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(6y-16\right)$$

Multiplica -1 por 6y-16.

$$x=-6y+16$$

Substitúe x por -6y+16 na outra ecuación, 5x-y=18.

$$5\left(-6y+16\right)-y=18$$

Multiplica 5 por -6y+16.

$$-30y+80-y=18$$

Suma -30y a -y.

$$-31y+80=18$$

Resta 80 en ambos lados da ecuación.

$$-31y=-62$$

Divide ambos lados entre -31.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-6y+16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6\times 2+16$$

Multiplica -6 por 2.

$$x=-12+16$$

Suma 16 a -12.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-6\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}&\frac{6}{31}\\-\frac{5}{31}&-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{31}\left(-16\right)+\frac{6}{31}\times 18\\-\frac{5}{31}\left(-16\right)-\frac{1}{31}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-6y=-16,5x-y=18$$

Para que -x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$5\left(-1\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-16\right),-5x-\left(-y\right)=-18$$

Simplifica.

$$-5x-30y=-80,-5x+y=-18$$

Resta -5x+y=-18 de -5x-30y=-80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x-30y-y=-80+18$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y-y=-80+18$$

Suma -30y a -y.

$$-31y=-80+18$$

Suma -80 a 18.

$$-31y=-62$$

Divide ambos lados entre -31.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 5x-y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2=18$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$