Resolver {l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-5y=14$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=5y+14$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(5y+14\right)$$

Multiplica -1 por 5y+14.

$$x=-5y-14$$

Substitúe x por -5y-14 na outra ecuación, -2x-7y=16.

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

Multiplica -2 por -5y-14.

$$10y+28-7y=16$$

Suma 10y a -7y.

$$3y+28=16$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-5y-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

Multiplica -5 por -4.

$$x=20-14$$

Suma -14 a 20.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Para que -x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

Simplifica.

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

Resta 2x+7y=-16 de 2x+10y=-28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-7y=-28+16$$

Suma 10y a -7y.

$$3y=-28+16$$

Suma -28 a 16.

$$3y=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -2x-7y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

Multiplica -7 por -4.

$$-2x+28=16$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-12$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$