Resolver {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-5y=11$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=5y+11$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

Multiplica -1 por 5y+11.

$$x=-5y-11$$

Substitúe x por -5y-11 na outra ecuación, 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

Multiplica 2 por -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Suma -10y a y.

$$-9y-22=9$$

Suma 22 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=31$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Substitúe y por -\frac{31}{9} en x=-5y-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

Multiplica -5 por -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Suma -11 a \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Simplifica.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Resta -2x-y=-9 de -2x-10y=22 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y+y=22+9$$

Suma -10y a y.

$$-9y=22+9$$

Suma 22 a 9.

$$-9y=31$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Substitúe y por -\frac{31}{9} en 2x+y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Suma \frac{31}{9} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{56}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$