Resolver {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-3y=6$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-x=3y+6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Multiplica -1 por 6+3y.

$$x=-3y-6$$

Substitúe x por -3y-6 na outra ecuación, 2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Multiplica 2 por -3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y-12=3$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=15$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-3y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Multiplica -3 por -5.

$$x=15-6$$

Suma -6 a 15.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Simplifica.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Resta -2x-3y=-3 de -2x-6y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+3y=12+3$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y=12+3$$

Suma 12 a 3.

$$-3y=15$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 2x+3y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Multiplica 3 por -5.

$$2x-15=3$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$2x=18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-5$$